Hachage, Arbres, Chemins & Graphes

Mathématiques discrètes et continues se rencontrent et se complètent volontiers harmonieusement. C’est cette thèse que nous voudrions illustrer en discutant un problème classique aux ramifications nombreuses—l’analyse du hachage avec essais linéaires. L’exemple est issu de l’analyse d’algorithmes, domaine fondé par Knuth et qui se situe lui-même “à cheval” entre l’informatique, l’analyse combinatoire, et la théorie des probabilités. Lors de son traitement se croisent au fil du temps des approches très diverses, et l’on rencontrera des questions posées par Ramanujan à Hardy en 1913, un travail d’été de Knuth datant de 1962 et qui est à l’origine de l’analyse d’algorithmes en informatique, des recherches en analyse combinatoire du statisticien Kreweras, diverses rencontres avec les modèles de graphes aléatoires au sens d’Erdös et Rényi, un peu d’analyse complexe et d’analyse asymptotique, des arbres qu’on peut voir comme issus de processus de Galton-Watson particuliers, et, pour finir, un peu de processus, dont l’ineffable mouvement Brownien! Tout ceci contribuant in fine à une compréhension très précise d’un modèle simple d’aléa discret.